Le théorème du cosinus est un élément fondamental de la trigonométrie et joue un rôle important en géométrie. Il est utilisé pour décrire la relation entre les côtés et les angles d'un triangle, en particulier dans le cas d'un triangle non rectangle. La formule du théorème du cosinus est la suivante : = - 2ab* cos(γ).

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Bases : Qu'est-ce que le théorème du cosinus ?

Le théorème du cosinus, également appelé théorème du cosinus de Carnot, permet de calculer un côté ou un angle dans un triangle quelconque, si certaines autres grandeurs du triangle sont connues. Il élargit le spectre du théorème de Pythagore, qui n'est valable que pour les triangles rectangles.

La formule générale du théorème du cosinus est la suivante : = b² - 2à partir de * cos(γ) et sont les longueurs des côtés d'un triangle et qui correspond à la longueur du côté est l'angle opposé au triangle.

Domaines d'application

Le théorème du cosinus est utile pour :

  1. La détermination de la longueur d'un côté dans un triangle, lorsque deux côtés et l'angle inclus sont connus.
  2. Le calcul d'un angle dans un triangle, lorsque les trois longueurs des côtés sont connues.

Calcul d'un angle avec le théorème du cosinus

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d'un triangle et que vous souhaitez calculer l'un des angles, vous pouvez transformer le théorème du cosinus comme suit :

cos⁡() = (a² b² - c²) / 2ab

Il est important de noter ici que :

  • est l'angle formé par le côté se trouve à l'opposé.
  • Si vous souhaitez déterminer un autre angle, vous devez échanger les longueurs de côtés correspondantes dans la formule.

Exemple d'exercice

Supposons que vous ayez un triangle dont les côtés ont les longueurs suivantes cm, cm et cm et nous voulons obtenir l'angle déterminer le à l'opposé.

L'insertion dans la formule transformée donne :

cos⁡() = (5² 6² - 7²) / (2 × 5 × 6)

γ = cos⁻¹ (6 / 30)

Maintenant, vous pouvez utiliser l'arc-cosinus (ou le cosinus inverse) pour pour déterminer la valeur de l'arc.

Conclusion

Le théorème du cosinus offre un outil puissant pour résoudre des problèmes triangulaires où le théorème de Pythagore n'est pas applicable. Son application permet de déterminer efficacement aussi bien les angles que les côtés dans les triangles non rectangles.

Angle

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