En trigonométrie, le théorème des sinus fait partie des théorèmes les plus importants pour déterminer les côtés et les angles d'un triangle. Il est particulièrement important pour les triangles non rectangles et établit un lien entre les longueurs des côtés et les angles d'un triangle. Le théorème des sinus est le suivant :

Calculateur

Calculer la tangente (tan):

Dimensions de l'arc:

Contre-cathéter
Ancathete

ou angle:

° Degré

Calculer un sinus (sin):

Dimensions de l'arc:

Contre-cathéter
Hypoténuse

ou angle:

° Degré

Calculer le cosinus (cos):

Dimensions de l'arc:

Ancathete
Hypoténuse

ou angle:

° Degré
calculer

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Principe de base du théorème des sinus

Soit un triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs a, b et c et pour angles opposés α, β et γ.

Le théorème des sinus est le suivant :

Cela signifie que le rapport entre une longueur de côté et le sinus de l'angle opposé est le même pour les trois paires côté-angle.


Applications du théorème des sinus

  1. Détermination d'une longueur de côté manquante : si deux côtés et un angle d'un triangle sont donnés, la troisième longueur de côté peut être calculée en transformant le théorème des sinus.
  2. Détermination d'un angle manquant : Si les trois longueurs de côté d'un triangle sont données, un angle manquant peut être calculé en utilisant le théorème des sinus.
  3. Vérification de l'existence d'un triangle : Le théorème des sinus peut également être utilisé pour vérifier si un triangle avec des longueurs de côtés et des angles donnés peut exister.

Avantages du théorème des sinus

  • Il est universellement applicable à tous les triangles, pas seulement aux triangles rectangles.
  • Il permet d'effectuer des calculs simples, même dans le cas de problèmes triangulaires complexes.
  • En combinaison avec d'autres théorèmes trigonométriques, il permet de résoudre de nombreux problèmes géométriques.

Exemple d'application

Supposons que nous ayons un triangle ABC avec des longueurs de côtés données a = 7 cm et b = 9 cm et un angle α = 45°. Quelle est la valeur de l'angle β ?

En utilisant le théorème des sinus :

Si nous insérons les valeurs et résolvons en fonction de β, nous obtenons :

En substituant les valeurs données et en calculant β avec l'arc sinus, on obtient la valeur de l'angle β.


Conclusion

Le théorème des sinus est un outil puissant en trigonométrie qui permet de déterminer efficacement la longueur des côtés et les angles d'un triangle. Sa compréhension et son application permettent de résoudre de nombreux problèmes de géométrie. Il est essentiel d'avoir le théorème des sinus dans son répertoire, en plus d'autres théorèmes trigonométriques importants.

Angle

Calculateur | Tableau

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